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Kombinatorische Strategie: Paare bilden
Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Kombinieren sind
meistens zwei Mengen von Objekten vorgegeben, z. B. die Zehner
3Z, 5Z, 7Z, 9Z und die Einer 3, 5, 9. Aus ihnen wird eine dritte Menge
gebildet, indem man die Objekte beider Mengen paaarweise
kombiniert - siehe Bild 1.
Zusätzlich kann man eine Bedingung angeben, durch die
Paare aus- geschlossen werden - Beispiel siehe Fingerzahlen. -
Entsprechend kann man Objekte von drei und mehr Mengen
miteinander kombinieren.
Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, sämtliche
Paare (Tripel, Quadrupel) zu finden. Dies ist nur dann
möglich, wenn man strategisch vorgeht. Das Lehrziel ist
die Anbahnung der Fähigkeit zum strategischen Vorgehen.
Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik
zum Thema liegen in einer Version für die Tafelarbeit und
einer für die Klein- gruppenarbeit vor. Für die
Einführung empfehlen wir die Tafelarbeit.
Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise
nahe: Erst sammeln wir die Vorschläge der Schüler
und protokollieren sie schriftlich, besser noch bildlich an der Tafel.
Sobald keine weiteren Lösungen vorgeschla- gen werden,
wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst:
der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht
es darum, die vorhan- denen Vorschläge neu zu ordnen,
bis man sicher ist, dass nichts ver- gessen wurde.
Beim Erarbeiten der Strategie zur Sicherung der Vollständigkeit
zeigt sich, dass die bildliche Darstellung der Objekte durch Haftmaterial
güns- tiger als die schriftliche ist. Man muss nichts wegwischen oder
durch- streichen und neu anschreiben. Vielmehr genügt es, die Objekte
gege- benenfalls von der Tafel abzunehmen und an anderer Selle anzuheften.
Mit den Fingern der rechten Hand stellt man die Zahlen
1 2 3 4 5 und mit den Fingern der linken Hand die Zahlen
6 12 18 24 30 dar. Die Zahldarstellung im 6-er System ist
kein mathematisches Artefakt. Sie wurde in früherer
Zeit von Händlern auf dem Markt benutzt, um unter
einer Decke den Preis für eine Ware auszuhandeln. -
Nach einführenden Übungen zum Zahldarstellen
werden kombinatorische Aufgaben gestellt. Beispiele: 1.
Stell alle Zahlen mit gleich vielen Fingern an jeder Hand dar.
2. Stell alle Zahlen mit einem Finger der linken Hand dar.
3. Stell alle Zahlen mit zwei Fingern der rechten Hand dar.
4. Stell alle Zahlen mit zusammen vier Fingern an linker und
rechter Hand dar. - Die eine Menge sind die Finger der linken
Hand, die andere Menge die Finger der rechten Hand.
Bild 2 zeigt alle Zahlen mit zusammen sechs Fingern an linker
und rechter Hand.
Im Unterrichtsmittel "Laura kombiniert" wird u. a. folgende
Aufgabe gestellt: Zum Ankleiden ihrer Puppe hat Laura
2 Hosen, 3 Oberteile und 2 Paar Strüpfe. Für
wie viele Tage reichen die Teile, wenn sie der Puppe jeden
Tag etwas Anderes anziehen möchte? Von jedem
Kleidungsstück sind sechs Karten zum an die Tafel
heften (Auslegen auf dem Tisch) vorhanden. Es gibt
mehrere Wege, alle Kombinationen bildlich darzu- stellen.
Bild 3 zeigt eine der in Frage kommenden bildlichen Darstel- lungen. -
Die Aufgabe ist ein Beispiel für die Kombination
von drei Men- gen zu einer vierten Menge, deren Objekte
aus Tripeln bestehen.
Im Unterrichtsmittel "Bilder von Stefanie" werden vier
Mengen kombi- niert: 1. Farbe der Mütze: braun, grau.
2. Tönung der Brillengläser: rot, blau. 3. Farbe
des Pullis: rosa, grün. 4. Farbe des Anhängers:
rot, blau. Jede Menge besteht aus zwei Objekten. Die
Verteilung der acht Objekte auf Karten und die nachfolgende
Kombination von je vier Karten zu einem Portrait von Stefanie
wäre unanschaulich. Um dies zu vermeiden, liegen
alle in Frage kommenden 16 Kombinationen bereits als
Portraits vor. Die verschiedenen Aufgaben basieren
darauf, dass man die 16 Portraits in einer quadratischen
16-Feldertafel so anordnen kann, dass den Portraits jeder
senkrechten und jeder waagerechten Reihe ein Ob- jekt
entspricht, d. h. dass z. B. alle Mützen einer Reihe braun sind.
Bild 4 zeigt eine 16-Feldertafel. - Aufgaben: 1. In der Tafel sind eine senk- rechte
und eine waagerechte Reihe mit Portraits belegt. Gesucht
wird das gemeinsame Objekt der waagerechten bzw. der
senkrechten Reihe. 2. In der Tafel sind die Felder teilweise
belegt. Die fehlenden Portraits sind einzusetzen. 3. Die Tafel
ist vollständig belegt, aber fehlerhaft. Zwei Portraits
in falscher Position müssen ausgetauscht werden.
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Bild 1:

Bild 2:

Bild 3:

Bild 4:

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