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Kombinatorische Strategie: Auswählen
Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Auswählen
ist eine Menge von Objekten vorgegeben, z. B. die Münzen:
20 10 10 5 2 2 2 1 Cent. Aus dieser Menge sind
sämtliche Teilmengen auszuwählen, die eine
be- stimmte Bedingung erfüllen, z. B. die Münzen, mit
denen man genau 26 Cent zahlen kann.
Die Schwierigkeit solcher Aufgaben besteht darin,
alle Objekte bzw. Teil- mengen zu finden, die die Bedingung
erfüllen. Dies ist nur dann möglich, wenn man
strategisch vorgeht. Das eigentliche Lehrziel ist die
Anbah- nung der Fähigkeit zum strategischen Vorgehen.
Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik
zum Thema liegen in einer Version für die Tafelarbeit und
einer für die Kleingruppen- arbeit vor. Für die
Einführung empfehlen wir unbedingt die Tafelarbeit.
Dadurch können wir sicherstellen, dass alle Schüler
das auf den ersten Blick nicht sichtbare Problem der
Vollständigkeit der Lösung erkennen.
Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise
nahe: Erst sammeln wir die Vorschläge der Schüler
und protokollieren sie bildlich bzw. schriftlich an der Tafel.
Sobald keine weiteren Lösungen vorgeschlagen werden,
wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst:
der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht
es darum, die vorhan- denen Vorschläge neu zu ordnen,
bis man sicher ist, dass nichts ver- gessen wurde.
Wir betrachten zuerst eine Aufgabe aus dem Bereich der
Cent-Münzen. Im Geldbeutel sind acht Münzen: 20 10 10 5
2 2 2 1 Cent. Welche Möglichkeiten gibt es, mit den
Münzen 26 Cent zu zahlen? - Zum Bearbeiten der Aufgabe
sollten ausreichend viele Münzen vorhanden sein, so dass
man alle Lösungen bildlich darstellen kann und nichts
anschreiben muss. Das Umordnen fällt Grundschülern
nämlich viel leichter als das erneute Anschreiben der
Lösungen. Bild 1 zeigt eine systematische Ordnung der Lösungen.
Möglicherweise entwickeln Schü- ler eine andere Ordnung.
Es folgt eine Aufgabe aus dem Bereich Briefmarken. Die
zugrunde lie- gende Menge sind häufig verwendete
Marken der Blumenserie: 5 10 20 25 35 45 50 55 90 Cent.
Die Postkarte wird mit 45 Cent frankiert. Mit welchen zwei
Marken könnte man die Postkarte frankieren, falls man
keine 45 Cent Marke zur Hand hat?
Bild 2 zeigt die Lösung. - Aufgaben, bei denen man von Marken
mehrere Exemplare benötigt, kann man an der
Tafel wegen des Materialaufwands nicht mehr ausschließlich
bildlich lösen.
Es folgt ein Beispiel aus dem Unterrichtsmittel "Zwei
Kugeln Eis". Eine Eisdiele führt fünf Sorten Eis:
Erdbeere, Heidelbeere, Mandarine, Scho- kolade, Zitrone.
Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Tüten
mit zwei Kugeln zu verkaufen, wenn in jeder Tüte zwei
verschiedene Sorten Eis sind? Zum Darstellen von fünf
Eissorten stehen ausreichend viele far- bige Halbkreise zur
Verfügung. Bild 3 zeigt eine systematische Dar- stellung der
Lösung an der Stahltafel. Letztere wird in gemeinsamer
Ar- beit aus den spontan geäußerten Vorschlägen
der Schüler nach folgen- dem Prinzip entwickelt:
In der ersten Reihe sind alle Paare mit Erdbeere. In der
zweiten Reihe sind alle Paare mit Zitrone, wobei das Paar
Zitrone-Erdbeere nicht aufgeführt werden darf, weil es
bereits in der ersten Reihe ist. Es folgen die Paare mit
Scholkolde und danach die mit Mandarine.
Auf dem Geometrie-Steckbrett der Lernwerkstatt Lippe stellt man eine
Strecke dar, indem man nur die Endpunkte durch Zapfen
markiert und diese durch einen Gummiring verbindet. Die
übrigen Löcher des Bretts bleiben frei. Die Strecke
in Bild 4 links soll zu
einem rechtwinkligen Drei- eck erweitert werden. Es git drei
verschiedene, d. h. nicht-kongruente, Lösungen. Die
Objektmenge sind alle Dreiecke, in denen die genannte
Strecke eine Seite ist, die gesuchten Objekte sind die
rechtwinkligen Dreiecke. - Aus Platzmangel ist im Bild nur
eine Lösung dargestellt. Die zweite Lösung wäre das
an der Kathete gespiegelte Dreieck. Ferner gäbe es noch zwei
kleinere kongruente Dreiecke. - Zum Protokollieren der
Lösungen erhalten die Schüler eine
Kopiervorlage mit Blanko-Geo- brettern.
Man kann zahlreiche kombinatorische Aufgaben bilden, in
denen die Ob- jektmengen Zahlen sind, z. B. die Zahlen bis
30. Als Teilmengen kom- men im Beispiel etwa die durch 3/5/6
teilbaren Zahlen oder die Prim- zahlen in Betracht.
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Bild 1:

Bild 2:

Bild 3:

Bild 4:

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