Raumvorstellung ist eine Sammelbezeichnung für mehrere
Fähigkeiten, sich etwas visuell vorzustellen. Dieses Etwas
kann die Bewegung eines Körpers, einer Fläche
oder eines Liniennetzes sein.
Die Fähigkeit, sich die Bewegung eines geometrischen
Objekts visuell vorzustellen, wird in Alltag und Beruf häufig
benötigt, zum Beispiel beim Verschieben eines
Möbelstücks, wenn es beengt ist.
Bewegungen im engeren Sinne sind Verschiebungen und
Drehungen. Jede noch so komplexe Bewegung eines starren
Objekts ist eine Abfolge von Verschiebungen und Drehungen.
Weil die Mathematik Verschieben, Drehen und Spiegeln im
gleichen Modell (orthogonale lineare Transfor- mation) beschreibt,
zählt man die Spiegelung zu den Bewegungen, ob- gleich
sie meistens keine reale Bewegung ist.
Alle Lehrpläne verlangen die Spiegelung von Linie und
Fläche an einer Geraden (Spiegelachse). Die Erweiterung
um die Spiegelung von Kör- pern an der Fläche
(Spiegelebene) wird noch nicht bedacht.
Einige Lehrpläne sehen darüber hinaus die Drehung
von Linie und Flä- che vor. Weil sie neben Verschiebung
und Spiegelung die dritte Methode ist, um aus
einem Grundmuster ein Parkett herzustellen, bietet es sich an,
die Drehung beim Parkettieren zu behandeln.
Obwohl es geeignete Aufgaben gibt, wird die Erweiterung
um die Dre- hung von Körpern, z. B. Kippen von
Würfel und Quader über die Kante, in den Lehrplänen
gegenwärtig noch nicht bedacht.
Bewegungen im weiteren Sinne sind solche, bei denen
zugleich das Ob- jekt verformt wird, zum Beispiel beim Falten
von Papier, beim Verknoten von Schnur und Seil und beim
Flechten von Band.
Die DVD Lernmittel Mathematik enthält zahlreiche
Unterrichtsmittel zum Bewegen von Körpern, Flächen
und Liniennetzen. Wir stellen eine Aus- wahl von Aufgaben
aus Unterrichtsmitteln auf der DVD vor.
Soweit machbar erhalten Schüler mit wenig entwickelter
Vorstellungskraft Hifsmittel, z. B. einen Spiegel, um die Aufgaben
zunächst handelnd zu lösen. Nach ausreichend
vielen Handlungserfahrungen verzichten sie von sich aus auf
auf die Benutzung von Hilfsmitteln.
1. Liniennetz spiegeln, drehen
und verschieben
Bild 1:
Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original und
Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit neun
Linien- kärtchen gelegt werden. Falls erforderlich können
die Schüler den bei- liegenden Standspiegel zu Hilfe nehmen.
(Das gelegte Spiegelbild ist größer als das auf der
Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für
die Freiarbeit und einer für die Tafelarbeit vor.
Bild 2:
Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das schräg
liegende Quadrat ist an der Senkrechten zu spiegeln. Das
Spiegelbild, im Bild rechts, muss auf dem Geometrie-Steckbrett
der Lernwerkstatt Lippe
mit Zapfen und Ringgummis hergestellt werden. Falls erforderlich,
kann der Schüler vorher das Steckbrett auf der Karte im
Handspiegel spiegeln. (Das Spiegelbild auf dem Steckbrett ist
viel größer als das auf der Karte abgebildete Original.)
Bild 3:
Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Linien- muster
ist um ein viertel nach rechts zu drehen. Das gedrehte Muster,
im Bild rechts, muss mit neun Linienkärtchen gelegt
werden. (Das gedrehte Muster ist größer als das
originäre Muster.) Falls erforderlich, können die
Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel nach
rechts drehen. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für
die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.
Bild 4:
Gegeben sind 24 Kärtchen mit zwei Viertelecken (im Bild
rechts). Ein solches Kärtchen bildet das Muster (im Bild
links rot umrandet). Wenn man es schrittweise nach rechts bzw.
nach unten verschiebt und dabei stets um ein viertel nach links
dreht, erhält man nach 23 Verschiebungen ein Parkett (im Bild
links). Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für
die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.
In vielen Fällen erhält man andere Parkette, wenn
man das Muster (a) nur verschiebt, (b) es um ein viertel nach rechts
dreht, (c) um ein halb dreht oder (d) an der rechten/unteren Seite
spiegelt. Darüber hinaus ge- winnt man weitere Parkette, wenn man
aus vier Kärtchen ein quadra- tisches Muster bildet und dieses
wiederum - wie oben beschrieben - verschiebt, dreht und spiegelt.
- Falls erforderlich kann beim Spiegeln einen Standspiegel
benutzt werden.
2. Flächen spiegeln, drehen
und verschieben
Bild 5:
Spiegeln der Tangram-Figur "Hürdenläufer".
Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original
und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss
mit Tangram-Teilen gelegt werden. Falls erfor- derlich,
kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe
nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer
als das auf der Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel
liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version
für die Tafelarbeit vor.
Bild 6:
Spiegeln eines Vogels von Kempinsky. Das Bild links zeigt
die Aufgabe auf einer Karte; Original und Spiegelachse. Das
Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit den neun Teilen der
Vögel von Kempinsky gelegt werden. Falls erforderlich,
kann der Schüler den beiliegenden Hand- spiegel zu
Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer
als das auf der Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel
liegt in einer Ver- sion für die Freiarbeit und einer Version
für die Tafelarbeit vor.
Bild 7:
Uhrzeiger ohne Zifferblatt spiegeln. - Das Bild links zeigt die Aufgabe
auf einer Karte: Uhrzeit und Spiegelachse. Die gespiegelten
Uhrzeiger, im Bild rechts, müssen auf der beiliegenden
Plastik-Lernuhr eingestellt werden. Falls erforderlich, kann der
Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen.
(Uhrzeiger und Zifferblatt sind auf der Lernuhr größer
als auf der Karte.)
Bild 8:
Uhrzeiger mit Zifferblatt spiegeln. - Das Bild rechts zeigt auf einer
Karte: die an der Senkrechten gespiegelte Uhrzeit. Die Aufgabe
besteht darin sich vorzustellen, wie spät es tatsächlich ist.
Das Bild links zeigt die Lösung. Falls erforderlich, kann der
Schüler den beiliegenden Hand- spiegel zu Hilfe nehmen.
Bild 9:
Das Bild links zeigt eine Zielfigur auf einem quadratischen
Kärt- chen. Sie ist - auf den ersten Blick nicht erkennbar -
aus vier qua- dratischen Mustern zusammengesetzt.
Diese und andere Muster stehen auf insgesamt 16 Spielsteinen
zur Verfügung. Die Aufgabe besteht darin, die Vorlage
mit zwei Spielsteinen und deren Spiegelbild im Standspiegel
herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung (ohne
Darstellung des Spiegelbilds).
Bild 10:
Spiegelexperimente an der Wunderblüte. - Das Bild
links zeigt die Wunderblüte mit ihren drei roten und
weißen Blättern auf einer Karte. Das Bild mittig
zeigt die gleiche Blüte mit einem Standspiegel. Wenn
man seitlich in den Standspiegel blickt, sieht man die
im Bild rechts darge- stellte Blüte. Durch geschicktes
Positionieren des Standspiegels kann man nämlich das
Verhältnis von rot zu weiß verändern. -
Die Aufga- benstellung erfolgt in der umgekehrten Richtung:
Zu vorgegebenem Spiegelbild muss die passende Stellung
des Standspiegels auf der Wunderblüte ermittelt werden.
Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für
die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.
Bild 11:
Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Vierfarben-Muster
ist um ein viertel nach links zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild
rechts, wird mit vierfarbigen quadratischen Kärtchen gelegt.
Es sind 18 Kärtchen vorhanden. Falls erforderlich können
die Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel drehen.
Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für
die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.
Bild 12:
Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das quadratische
LTZ-Muster ist um ein viertel nach links zu drehen. Das gedrehte
Muster, im Bild rechts, wird mit vier LTZ-Plättchen gelegt.
Es sind 18 LTZ-Plättchen aus Plastik vorhanden. Falls
nötig können die Schüler vorher jede einzelne Karte
um ein viertel nach links drehen. Das Unterrichts- mittel liegt in einer
Version für die Freiarbeit und einer Version für die
Tafelarbeit vor.
3. Körper spiegeln, drehen
und kippen
Unter Körpern verstehen wir gegenwätig im Wesentlichen
Würfelkörper. Diese bestehen aus einzelnen Würfeln.
Es kommen aber auch Quader in Betracht. Empfehlenswert sind
Quader mit Fröbel-Proportionen 1:2:4, weil diese sich auch in
anderen Anwendungsfällen einsetzen lassen.
Bild 13:
Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: die Konturen
eines Würfelkörpers und eine Spiegelebene. Der
Körper und sein Spiegelbild sind mit den beiliegenden
Würfeln herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung.
Bild 14:
Der Würfel im Bild links ist aus acht zweifarbigen Würfeln
mit je drei roten und blauen Seitenflächen zusammengesetzt.
Er muss erst hergestellt und danach auf Spiegelebenen
untersucht werden. Das Bild rechts zeigt eine der beiden
Spiegelebenen.
Bild 15:
Ein Quader trägt auf der Grund- bzw. Deckfläche das
Bild eines Igels bzw. eines Hasen. Kippt man den Quader über
die Kanten nach links/rechts/vorn/hinten, so hinterlässt er
eine Spur. Aufgabe: Im Bild links oben liegt der Igel oben. Wer
liegt oben, wenn man den Quader achtmal kippt wie im Bild
dargestellt, der Igel oder der Hase? - Falls es erfor- derlich sein
sollte, können die Schüler die Kippfolge mit dem
beiliegenden Quader ausführen.
Bild 16:
Von einem sechsfarbigen Würfel sieht man im Schrägbild
nur drei Farben. Kippt man den Würfel nach rechts, links, vorn
oder hinten, werden andere Farben sichtbar. Durch wiederholtes
Kippen kann man insgesmt 24 verschiedene Ansichten erzeugen.
Das Bild zeigt eine ge- schlossene Kippfolge. Man erzeugt sie, indem
man beispielsweise die Ansicht des Würfels links oben (vorn:
grün, oben: rot, seitlich: grau) und den Weg vorgibt. Die
Aufgabe besteht darin, alle Ansichten mit Kärtchen zu legen.
Falls die Vorstellugskraft nicht ausreicht, kann der Schüler
den beiliegenden sechsfarbigen Würfel benutzen, um durch
Kippen die be- nachbarte Ansicht zu ermitteln. Das Unterrichtsmittel
liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version
für die Tafelarbeit vor.