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Kombinatorische Strategie: Anordnen
Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Anordnen ist
eine Menge von Objekten nicht direkt angegeben, sondern
verbal umschrieben, z. B. alle dreistelligen Zahlen mit den Ziffern
2, 4 und 8. Die dreistelligen Zahlen müssen hergestellt
werden.
Die Schwierigkeit solcher Aufgaben besteht darin, alle
Objekte zu finden, die den Angaben entsprechen. Dies ist
allerdings nur dann möglich, wenn man strategisch
vorgeht. Das Lehrziel ist also die Anbahnung der
Fähigkeit zum strategischen Vorgehen.
Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise
nahe: Erst sammeln wir die Vorschläge der Schüler
und protokollieren sie schriftlich, besser noch bildlich an der Tafel.
Sobald keine weiteren Lösungen vorgeschla- gen werden,
wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst:
der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht
es darum, die vorhan- denen Vorschläge neu zu ordnen,
bis man sicher ist, dass nichts ver- gessen wurde.
Beim Erarbeiten der Strategie zur Sicherung der Vollständigkeit
zeigt sich, dass die bildliche Darstellung der Objekte durch Haftmaterial
güns- tiger als die schriftliche ist. Man muss nichts wegwischen oder
durch- streichen und neu anschreiben. Vielmehr genügt es, die Objekte
gege- benenfalls von der Tafel abzunehmen und an anderer Selle anzuheften.
Wir betrachten zuerst eine Aufgabe aus dem Bereich
Radrennen. Es lösen sich häufig kleine Gruppen
von Fahrern vom Hauptfeld ab. Die Fahrer wechseln sich in
der Führung ab, denn die vorderen Fahrer müssen
gegen den Fahrtwind ankämpfen, während die
hinteren in deren Windschatten fahren können. Aufgabe:
Wie viele Reihenfolgen gibt es, wenn die Gruppe der
Ausreißer aus drei Fahrern bestünde?
Bild 1 zeigt, dass sechs verschiedene Reihenfolgen möglich sind. -
Bei der aus vier Fahrern bestehenden Gruppe kann man
wie folgt verfahren: In Bild 1 wird der Fahrer mit dem
gelben Trikot an die erste Stelle gesetzt. Das sind
die Reihenfolgen Nr. 1 - 6. Als nächstes tauscht man
in jeder Reihe den Fahrer mit dem gelben Trikot gegen
den mit dem grünen Trikot. Das sind die Reihenfolgen Nr.
7 - 12. Danach tauscht man gelb gegen rot usw.
Wir betrachten als nächstes eine Aufgabe aus dem
Bereich Magische Figuren. Im Bild 2, links ist die
Ausgangsfigur der stilisierte Buchstabe T mit der Ziffer 4 oben
links. Die übrigen Felder sollen mit den Ziffern 3, 5, 6, 7
belegt werden, und zwar so, dass die Ziffernsumme senkrecht
und waagerecht gleich ist: 14, 15 oder 16. Es gibt sechs
verschiedene Belegungen. Es gäbe weitere Belegungen,
wenn man auf die Vorgabe der Ziffer 4 verzichten würde.
Mit Ziffern und Zahlen kann man weitere kombinatorische
Aufgaben des Tpys Anordnen stellen. Beispiel: Andrea will
für den Kode ihres Fahr- radschlosses die Ziffern 2, 4, 8
verwenden. Die Ziffern kann sie sich leicht merken, denn sie
hat am 24. 8. Geburtstag. Welche dreistelligen Kodes kann
man mit den Ziffern 2, 4, 8 bilden? Es gibt sechs Kodes:
248, 284, 428, 482, 824, 842. Die Strategie ist die gleiche
wie im Anwendungsfall Radrennen.
Es folgt eine sog. Streichholzaufgabe, die man beispielsweise
mit den im Handel erhältichen A-Sagern oder Legestäbchen
aus Holz ausführen lassen kann. - 16 Stäbchen sind in einer
Vierfeldertafel auf die Felder zu verteilen, so dass in jeder senkrechten
und waagerechten Reihe gleich viele Stäbchen liegen.
Bild 3 zeigt die vier Belegungen. Wenn man leere Felder zuließe,
gäbe es sogar eine fünfte Belegung. Man kann die Belegungen
systematisch gewinnen, indem man ausgehend von der
Gleichverteilung - im Bild links oben - dreimal je ein Stäbchen
verschiebt.
Weitere Aufgaben ergeben sich, wenn man die Vierfeldertafel durch
eine Neunfeldertafel, ein Fünffelderkreuz oder eine andere Struktur
ersetzt. Ferner kann man die Anzahl der Legestäbchen verändern.
Auch das Geometrie-Steckbrett der Lernwerkstatt Lippe eignet sich für
kombinatorische Aufgaben des Typs Anordnen.
Ein Beispiel zeigt Bild 4.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck, im Bild oben links.
Es soll auf unterschiedliche Weise in gleich große (kongruente)
Dreiecke zerlegt werden. Auf dem Brett lassen sich drei
Zerlegungen darstellen: 1. Das Dreieck wird durch die
Höhe in zwei kongruente Dreiecke zerlegt. 2. Wenn
man die Seitenmitten des Dreiecks verbindet, erhält man
vier kongruente Dreiecke. 3. Man zerlegt jedes durch die
Höhe und erhält so acht Dreiecke.
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Bild 1:

Bild 2:

Bild 3:

Bild 4:

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