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Zufallsexperiment: Grundbegriffe
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment
mit mehreren möglichen Ergebnissen, und es ist nicht vorhersehbar, welches
Ergebnis eintreten wird. Das Zufallsexperiment muss unter gleichen Bedingungen
wiederholbar sein. Ein Zufallsexperiment, in dem jedes Ergebnis die gleiche Chance
hat einzutreten, heißt zu Ehren des französischen Mathematikers Laplace
(1749-1827) Laplace-Experi- ment. - Beispiele:
Der Wurf eines Augenwürfels im Würfelbecher ist ein
Laplace-Experiment. Die Ergebnisse sind die Augenzah- len 1 bis 6. Wird der
Würfel im Becher gut geschüttelt, hat jede Augenzahl die gleiche
Chance.
Dagegen ist der Wurf einer Reißzwecke im Würfelbecher kein
Laplace-Experiment. Die Ergebnisse sind "Rückenla- ge" oder "Seitenlage". Wird
der Becher gut geschüttelt, hat die Seitenlage eine größere
Chance einzutreten als die Rückenlage.
Wird ein Zufallsexperiment zweimal durchgeführt, so spricht man von einem
zweistufigen, bei dreimaliger Durchführung von einem dreistufigen
Zufallsexperiment usw. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment wird wie ein einstufiges
dargestellt. Die Ergebnismenge wird von Stufe zu Stufe umfangreicher. - Beispiel:
Beim einmaligen Wurf einer Münze sind zwei Ergebnisse möglich:
Wappen (W) und Zahl (Z). - Wirft man die Münze zweimal, gibt es vier
Ergebnisse: WW, WZ, ZW, ZZ. - Beim dreimaligen Wurf sind acht Ergebnisse
möglich: WWW, WWZ, WZW, WZZ, ZWW, ZWZ, ZZW, ZZZ. Das Beispiel
zeigt, dass die Ermittlung der möglichen Ergeb- nisse eine kombinatoriche
Aufgabe des Anordnens ist.
Beim Zufallsexperiment interessieren meist gewisse Teilmengen von
Ergebnissen. - Beispiel: Wann erhält man beim Wurf mit zwei unterschiedlichen
Augenwürfeln die Summe 8, wann die Summe 7? Die Ergebnisse
2;6 3;5 4;4 5;3, 6;2 ergeben die Summe 8, die Ergebnisse 1;6 2;5, 3;4 4;3 5;2 6;1
die Summe 7. - Eine Teilmenge von Ergebnissen bezeichnet man als
Ereignis. Das Beispiel zeigt, dass
die Darstellung des Ereignisses eine kombina- torische Aufgabe des
Auswählens ist. Eine Teilmenge mit einem Ergebnis heißt Elementarereignis.
Elementarer- eignis und Ergebnis bezeichnen demnach das Gleiche.
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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
ist ein Maß für die Gewissheit des Eintretens des Ereignisses. Sie wird durch
eine Zahl zwischen 0 und 1 beschrieben. - Beispiel: Wir rechnen damit, dass ein
Ereignis mit der Wahr- scheinlichkeit 1/10 nicht eintreten, jedoch ein Ereignis mit der
Wahrscheinlichkeit 9/10 eintreten wird.
Man ermittelt die Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit des Ereignisses
im mehrstufigen Zufallsexperiment. Der Wert wird um so genauer, je größer
die Anzahl der Stufen ist. - Beispiel: Wirft man eine Reißzwecke 100-mal, so
erhält man in etwa 40 Fällen die Rückenlage und in etwa 60
Fällen die Seitenlage. Demnach ist die relative Häufig- keit für die
Rückenlage etwa 2/5 und für die Seitenlage etwa 3/5. Die Wahrscheinlichkeiten
hängen auch von der Herstellung der Reißzwecke ab: Falls das
Rückenteil - weil mit Plastik überzogen - schwerer ist, nimmt die
Wahr- scheinlichkeit für die Rückenlage zu.
Beim Laplace-Experiment kann man auf das Ermitteln der relativen
Häufigkeit verzichten. Da die Ergebnisse gleich- berechtigt sind, lässt sich
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Verhältnis der für das
Ereignis günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen
bestimmen. - Beispiel: Beim Wurf mit zwei unterschiedlichen Augen- würfeln
sind 36 Ergebnisse möglich. Die Summe 8 hat die Wahrscheinlichkeit 5/36,
die Summe 7 die Wahrschein- lichkeit 6/36. - Die Annahme der
Gleichwahrscheinlichkeit kann man durch die Berechnung der relativen Häufig- keiten
prüfen. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise ermitteln, ob der
Schwerpunkt eines Spielwürfels tat- sächlich der Mittelpunkt des
Würfels ist oder ob eventuell eine Abweichung vorliegt. -
Die Dominanz der Laplace-Experimente verstellt den Blick auf den Umstand, dass
Zufallsexperimente im allgemeinen keine Laplace-Ex. sind
In den Lehrplänen findet man ferner die Bezeichnung Chance. Die Chance
bedeutet das Gleiche wie die Wahr- scheinlichkeit. Man sagt, ein Ereignis A habe eine
größere Chance als ein Ereignis B, wenn die Wahrscheinlichkeit für A
größer als für B ist. Die Chance kann im Laplace-Experiment durch
Vergleich der für beide Ereignisse gün- stigen Fälle ermittelt
werden. - Beispiel: Beim Wurf mit zwei Augenwürfeln ist die Chance für
die Summe 7 größer als für die Summe 8, denn sechs Ergebnisse
füh- ren zur Summe 7 und nur fünf Ergebnisse zur Summe 8.
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